向量a⊥向量(向量·向量)

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　　我们经常在机器学习中提到向量。向量到底是什么？在本文中，我们将首先研究向量的定义，然后直观地解释它的数学运算。

　　定义矢量我们在X，Y数字网格上画一个点(1，2)，其中X代表水平方向，Y代表垂直方向。

　　我们已经很好地定义了一个向量。实际上，我们不仅要考虑网格上的“点”，还要考虑“线”。

　　在上面的例子中，我们从点(0，0)移动到点(1，2)。我们的矢量是代表这个运动的直线：

　　如果你仔细观察，你会发现我们的直线有两个关键属性：

　　尺寸：这是“长度”的同义词。我们也可以把它想成“我们走了多远”。

　　方向：与点不同，线实际上是有方向的。

　　现在我们可以正式定义这个概念了。根据米里亚姆韦伯斯特的说法，这个矢量是：

　　有大小和方向的量通常用有向线段来表示，线段的长度表示大小，其空间方向表示方向

　　表示向量的一种常见方式是将X维度和Y维度堆叠在一起：

　　 2D矢量的简单表示

　　我们也可以通过超越二维来扩展对坐标系的理解。

　　在可感知的现实世界中，我们有三个维度。我们可以尝试将3D向量可视化。我们使用原始向量(1，2)，然后添加第三维。我们称它为Z，并将其值设为1。产生的向量是(1，2，1):

　　一旦我们开始超越三维空间，人脑就很难将其形象化。

　　虽然我们对感知空间的解释仅限于三维空间，但在数学上可以进一步解释。我们以iris机器学习数据集为例，它是机器学习中常用的分类数据集：

　　这里，我们有四个“特征”或预测因子——萼片长度、萼片宽度、花瓣长度和花瓣宽度，我们可以用它们来预测我们的目标变量：花的类型(表示为0、1或2)。

　　上表中的每一行和每一列都可以解释为一个向量。例如，我们可以这样表达第一行：

　　从几何学上讲，我们可以把花的这个实例看作空间中的一条线，它在四个不同的方向上距离原点5.1、3.5、1.4和0.2个单位。

　　向量运算在本节中，我们将简要介绍与向量相关的数学运算。

　　在此之前，我想和大家分享一下我的数学学习理念。除非你是一个严谨的学者，否则数学的目的就是帮助我们解决世界上的实际问题。

　　向量加法

　　数值：我们将两个向量的每个维度相加。

　　例如：[1，2] [1，1]=[2，1]

　　几何：我们把一个向量的尾部放在另一个向量的头部，然后从起点到终点画一条直线。

　　蓝色向量[1，2]红色向量[1，1 -1]=绿色向量[2，1]。

　　向量减法

　　数值：我们减去两个向量的每一维。

　　比如：[1，2]-[1，1]=[0，3]

　　几何上：因为我们在做减法，所以可以把它想象成把第二个向量(红色)的方向反过来，然后把它的尾巴放在第一个向量(蓝色)的头上，得到我们的结果(绿色)3360。

　　标量乘法

　　数值：我们将向量的每个维度乘以标量值：[1，1] * 2=[2，2]

　　几何上：我们的向量[1，1]保持它的方向，但是每个维度以标量值的倍数变化。

　　向量的大小

　　数值：测量大小或长度，我们用勾股定理：定向量中各正方形元素之和的平方根。

　　例如：振幅[1，2]=sqrt (1 2)=sqrt (5)=2.23

　　例：振幅[3，5，6]=sqrt(356)=sqrt(9 25 36)=sqrt(70)=8.36

　　几何：这个不需要可视化。只是你看到的向量的长度。向量大小通常由管道符号表示为：

　　V

　　。

　　向量乘法(点积)

　　数值：我们把两个向量中每个维度的乘积相加。结果将总是一个标量值。

　　例：[1，2] [2，3]=1 * 2 2 * 3=8。

　　例：[1，2，3] [2，3，4]=1 * 2 2 * 3 3 * 4=20。

　　几何上：这个有点棘手。不直接进行空间解释，而是使用单个矢量[0，1](下面的红色)，并找到它与多个其他矢量(下面的蓝色)的点积：

　　请注意以下几点：

　　当蓝色向量的方向与红色向量的方向相似时，点积较大。

　　当蓝色向量的大小较大时，点积也较大。

　　当蓝色向量垂直于红色向量时，点积为0。

　　根据这些观察，我对点积的简单解释是，点积告诉我们两条直线在方向上的相似性；点积由这两个向量的大小决定。

　　现在，让我们看一个例子，其中x在二维空间中具有非零值，以巩固我们的理解：

　　为什么蓝色向量[1.5，2]和红色向量的点积比蓝色向量[2，1]大？因为它的大小更大，方向更类似于我们的红色矢量。

　　为什么蓝色向量[1，-1]和红色向量的点积是0？因为这两个向量是正交的(彼此成直角)。它们指向不同的方向。

　　最后，到目前为止，我们已经将向量定义为具有大小和方向的线空间。机器学习数据集中的每一行或每一列可以是几何形式。

　　表示为理论上无限维数中的一个向量。最后，我们学习了向量运算的数值和几何解释。

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