3×4阶矩阵的秩(行阶梯形矩阵的秩怎么求)
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看到有朋友问，矩阵的秩是什么？做了这么多题，还没系统总结矩阵的秩。今天我就结合实际例子来回答什么是矩阵的秩。
在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列的最大数目.
这是矩阵的秩的定义，但似乎很难理解。所以我打算从各种矩阵的角度来回答这个问题。
我们知道，一般的矩阵是mxn型，另一种是方阵。方阵是一种特殊的矩阵，指行数和列数相同的矩阵。对于这两个矩阵，矩阵的秩也有很大的不同。
对于方阵(行数和列数相等)的矩阵A，矩阵的秩用R(A)表示。
对于mxn的矩阵A，矩阵的秩有很多情况，其中最大的是M和n的较小值，我们把秩最大的矩阵称为可能满秩，不满足的称为秩不足。
当然这些都是定义，但是还是要举实际例子来说明什么是矩阵的秩。
我们通常是怎么计算矩阵的秩的？
通俗的说就是计数，一个矩阵中非零行的个数。
矩阵的秩中有一个定理，需要大家记住。初等变换不改变矩阵的秩。根据这个定理，我们在计算矩阵的秩时，利用初等行变换把矩阵变成行阶梯矩阵，一个行阶梯矩阵中非零行的个数就是矩阵的秩。
图1
那么，在对矩阵的秩有了初步的了解之后，我们再来研究相应的例子。
在学习例题之前，有几个关于矩阵秩的定理需要记忆。
1.在矩阵的初等变换之后，矩阵的秩不变。这是我在前面的例子中也提到的一点。
2.矩阵的行秩、列秩和秩都是相等的，也就是说只要找到其中的一个，就可以知道其他的条件。
3.若矩阵A可逆，则矩阵A与其逆矩阵B相乘得到的矩阵与逆矩阵B的秩相等，反之则为R(AB)=R(B)。
4.假设有两个矩阵M和N，由于矩阵相乘得到的新矩阵的行和列在矩阵M和N的行和列的范围内，所以相乘得到的新矩阵的秩小于或等于矩阵M和N的最小值，即R(AB)=min{RA，RB}。
5.假设有一个矩阵K，它的列秩等于列n，由于定理2，我们可以得到列秩和秩都是n。
实际例题了解了这些定理后，这个时候我们做实际例题会更容易。
图二
如图，举个例子。我们先来考察一下这个问题。矩阵A是33的方阵，矩阵B是32的矩阵(3行2列)。
我们在这里求方程AX=B的解。
在找到这个方程的解之前，我想提一下AX=B这样的方程是什么。
AX=B这类方程指的是非齐次线性方程，即常数项不全为零的线性方程。
看这个问题给的提示，系数矩阵，增广矩阵，阶梯矩阵。
1.系数矩阵：方程式的系数矩阵。
2.增广矩阵：在系数矩阵右边增加一列，是线性方程组等号右边的值。
3.梯形矩阵：如果有零行(所有零元素的行)，它应该放在底部，像梯子一样排列，就像我在上一篇文章中提到的那样。
回答然后，对于这个问题，我们要用这些概念来解决。
在判断方程AX=B的解时，需要判断矩阵的秩。
首先，我们将方程转化为增广矩阵，即(A
B)。
图3
然后，给出了矩阵的秩与非齐次线性方程组的解之间的关系。
也可以理解为系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系。
图4
有了这些概念之后，我们就可以彻底解决这个问题了。
即分析系数矩阵的秩和增广矩阵的秩。
图5
这是这个问题的完整步骤过程。至于为什么AX=B是非齐次线性方程组，是为了求解x的每一列的值，也就是以方程组的形式求解。
做一个最终结论，对于这类题目来说比较麻烦复杂。我们要做的就是非常明确概念。矩阵的秩、增广矩阵、系数矩阵、阶梯矩阵、非齐次线性方程组，一个地方不仔细就容易出错。
还有一点要明确，增广矩阵的秩和系数矩阵的秩之间的关系会影响非齐次线性方程组AX=B的求解，当我们判断各种情况时，可以重新求解。当我们求解它们时，我们可以进行一一对应，只需找出列的值。慢慢来，别着急！
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